Die Schrödinger-Gleichung

Bevor wir zur Wellenmechanik des Erwin Schrödinger kommen, müssen wir noch über den französischen Physiker Louis de Broglie (1892 – 1987) sprechen. Im Rahmen seiner Doktorarbeit, die er 1924 abschloss, machte er einen kühnen Vorschlag. Damals war ja, wie im vorletzten Abschnitt erläutert, der Welle-Teilchen-Dualismus ein Merkmal ausschließlich der elektromagnetischen Strahlung. Warum, so de Broglie, sollte er nicht auch für die Materie gelten? Warum also sollte Materie neben ihrem unstrittigen Teilchencharakter nicht auch einen Wellencharakter aufweisen? Der zuständige Prüfungsausschuss an der berühmten Pariser Universität Sorbonne war unsicher, ob er das genehmigen kann und erkundigte sich bei Einstein. Der zeigte sich tief beeindruckt, so dass de Broglie seinen Doktortitel bekam. Er konnte allerdings keine ausgearbeitete Theorie für die Materiewellen vorlegen.
Das gelang dann Erwin Schrödinger. Er stellte 1926 die nach ihm benannte Gleichung vor. Ungewöhnlich sind die Begleitumstände ihrer Entdeckung. Schrödinger soll sie Ende 1925 in Arosa entdeckt haben, dort war er mit seiner Geliebten [6].
Die Schrödinger-Gleichung steht im Mittelpunkt der Wellenmechanik. Wie schon festgestellt, ist sie mathematisch äquivalent zur Heisenbergschen Matrizenmechanik. Wird aber bevorzugt, da sie viel benutzerfreundlicher ist. Es gibt noch eine dritte Version, die ist abstrakter und stammt vom englischen Physiker Paul Dirac (1902 – 1984). Alle drei Versionen zusammen bilden die nicht-relativistische Quantentheorie, die man die Quantenmechanik nennt. Wie Sie richtig vermuten, gibt es auch eine relativistische Version. Auf die gehe ich kurz im nächsten Abschnitt ein. Kurz deshalb, weil sie zu den in diesem Buch diskutierten Themen keinen neuen Aspekt einbringt.
Die Schrödinger-Gleichung ist keine „echte“ Wellengleichung, so wie man sie benutzt, um beispielsweise Wasserwellen oder Schallwellen zu beschreiben. Aber sie ist mathematisch einer „echten“ Wellengleichung sehr ähnlich. Warum sie nicht identisch ist, konnte Schrödinger nicht begründen. Er hatte sie mehr aus der Intuition heraus entwickelt. Nach dem Motto: Wie könnte eine Wellengleichung für Elektronen aussehen? Das kann man auch Kreativität nennen. Tatsächlich gab es in der Geschichte der Quantentheorie sehr oft kein rigoroses Herleiten. Es war eher ein Herumprobieren, bis die Gleichungen gefunden wurden, die das gewünschte Ergebnis lieferten. Es ist sehr seltsam, dass daraus eine Theorie von solcher Präzision entstehen konnte. Die aber auch von bis heute ungelösten Problemen beherrscht wird, wie wir noch ausführlich diskutieren werden.
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind die sogenannten Wellenfunktionen. Erst mit ihnen ließ sich die Stabilität der Atome überzeugend erklären. Betrachten wir hierzu das einfachste Atom, das ist das Wasserstoffatom. Es besteht aus einem Proton als Kern und einem sich um ihn bewegendes Elektron. Löst man die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom, so findet man, dass das Elektron nur bestimmte Energiewerte annimmt. Wichtig ist, dass es einen kleinsten Energiewert gibt. Das bedeutet, dass das Elektron stets einen gewissen Abstand vom Kern hat. Was das Wasserstoffatom stabil macht. Auch das Bohrsche Atommodell liefert ja die bestimmten Energiewerte, kann sie aber nicht begründen. Macht das die Schrödinger-Gleichung besser? Nicht wirklich, es ist der benutzte mathematische Formalismus, der zu den bestimmten Energiewerten führte. Warum es genau dieser Formalismus ist, der zur Realität passt, kann bis heute keiner sagen.
Einem Objekt wird zu jedem Zeitpunkt ein Zustand zugeordnet. In der klassischen Physik besteht er aus einem eindeutigen Ort und einer eindeutigen Geschwindigkeit. Das nennt sich Determinismus, eine der zentralen Säulen der klassischen Physik. In der Quantenmechanik sind die Zustände ganz anders, sie werden von den Wellenfunktionen dargestellt. Sie sind daher abstrakte Größen aus der Welt der Mathematik und nicht direkt beobachtbar. Aber sie liefern die Orte und Geschwindigkeiten. Und zwar zu jedem Zeitpunkt sehr viele verschiedene Orte und Geschwindigkeiten. Daher sind die Zustände nicht eindeutig, sie sind sogenannte Superpositionszustände. Was zur Konsequenz hat, dass es bei der Quantenmechanik keinen Determinismus mehr gibt. Wobei das nicht ganz unumstritten ist, wie wir noch sehen werden.
Die Superpositionszustände folgen aus dem mathematischen Formalismus. Aber die Quantenmechanik liefert für sie keine Erklärung. Das ist so ähnlich wie bei den Keplerschen Ellipsen, die erst mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz erklärt werden konnten, das wiederum von der Einsteinschen allgemeinen Relativitätstheorie erklärt wurde. Was sagt uns das bezüglich der Quantenmechanik? Das ist völlig klar, sie kann nicht das letzte Wort sein. Irgendwann wird sie von einer fundamentaleren Theorie abgelöst werden.